quinta-feira, 6 de setembro de 2012

Álgebra Booleana

Introdução à Álgebra Booleana


A lógica matemática pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este ramo da Matemática foi desenvolvido pelo matemático inglês George Booole (1815-1864) no século XIX, que criou a álgebra que leva seu nome, a Álgebra Booleana, que utiliza-se de símbolos e operações algébricas para representar as relações entre proposições.

Proposição

Uma proposição é uma sentença declarativa, normalmente implicando na relação entre dois elementos, à qual pode ser atribuido um valor lógico VERDADEIRO (V, ou 1 na Álgebra Booleana) ou FALSO (F, ou 0). Uma proposição deve satisfazer aos dois seguintes princípios fundamentais:

Ø Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo outra alternativa possível.

Ø Príncipio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.

Uma proposição é usualmente indicada pelas letras maiúsculas (A, B, C, …). A tabela a seguir ilustra alguns exemplos de proposições (com seu valor lógico entre parênteses) e algumas afirmações que não podem ser consideradas proposições.

PROPOSIÇÃO
NÃO PROPOSIÇÃO
2 + 4 = 7 (F)
3 + 6
Um retângulo é um polígono de 4 lados (V)
x + 8 = 10
A Terra não é um planeta (F)
Está chovendo

Operadores Lógicos

A Lógica Matemática se utiliza de diversos operadores para correlacionar as proposições entre si. A tabela a seguir ilustra os principais operadores e seus símbolos. Cada um desses operadores será detalhado mais adiante.



Símbolo
Operador
~
Não (negação)
^
E
ν
Ou
Ou Exclusivo

Operador “Negação”



A negação inverte o valor lógico de uma proposição. Sua notação é ~A (lê-se “não A” ou “negação de A”). A tabela a seguir ilustra os possíveis valores lógicos de uma proposição A e de sua negação:



A

~A

1

0

0

1



É importante observar que a negação da negação corresponde à própria proposição, ou seja, ~(~A) = A.



Operador “E”



A operação lógica E associa duas proposições na forma A ^ B (lê-se “A e B”). Esta operação somente terá valor lógico verdadeiro quando ambas proposições forem verdadeiras. Na Álgebra Booleana, esta operação pode ser representada por uma operação de multiplicação entre os valores lógicos da duas proposições, como fica claro na tabela abaixo:



A

B

A ^ B

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0



O operador E é comutativo, ou seja, A ^ B = B ^ A.



Operador “OU”



A operação lógica OU associa duas proposições na forma A ν B (lê-se “A ou B”). Esta operação terá valor lógico verdadeiro quando pelo menos uma das proposições for verdadeira, sendo falsa apenas quando ambas forem falsas. Na Álgebra Booleana, esta operação pode ser representada por uma operação de adição entre os valores lógicos das duas proposições, como fica claro na tabela abaixo:



A

B

A ν B

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0



O operador OU é comutativo, ou seja, A ν B = B ν A.



Circuitos Lógicos



Os operadores lógicos E e OU podem ser representados por meio de associações de chaves (ou “interruptores”) em um circuito análogo a um circuito elétrico, sendo que um interruptor fechado representa o valor lógico verdadeiro (1) para uma proposição e um interruptor aberto representa o valor falso (0) para esta mesma proposição. Desta forma temos:



Valores Lógicos:



Valor Lógico

Estado

Representação

Verdadeiro (1)

Fechado



Falso (0)

Aberto







Operadores Lógicos



Operador

Associação

Representação

E

Série





OU

Paralelo





terça-feira, 4 de setembro de 2012

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Fatorial de um número escrito em java!!!! Ex 2

public class FatorialExpressao
{


int fatorial1=6;
int vezes1 = fatorial1 -1;
int fatorial2=4;
int vezes2 = fatorial2 -1;
int div;

public void calcular()
{

for(int n=fatorial1; vezes1>=2; vezes1 -- )
{
fatorial1=(fatorial1 * vezes1);

}
System.out.println(fatorial1);


for(int n=fatorial2; vezes2>=2; vezes2 -- )
{
fatorial2=(fatorial2 * vezes2);

}
System.out.println(fatorial2);

System.out.println();
System.out.println();
div = fatorial1/fatorial2;
System.out.println(div + " divisão de : " + fatorial1 + " / " + fatorial2);

}


public static void main(String[] args)
{

FatorialExpressao fe= new FatorialExpressao();
fe.calcular();


}
}


OBS * resultado

720
24


30 divisão de : 720 / 24

Fatorial de um número escrito em java!!!!



public class Fatorial
{

int fatorial=5;
int vezes=fatorial -1;

public void calcular()
{
if (fatorial ==0)
{
System.out.println("1");
}
if(fatorial==1)
{
System.out.println("1");
}
for(int n=fatorial; vezes>=2; vezes -- )
{
fatorial=(fatorial * vezes);

System.out.println(fatorial);


}


}

public static void main(String[] args)
{

Fatorial f = new Fatorial();
f.calcular();
}

}



Obs * Resultado


20
60
120